Логарифм и музыка
Для понимания сущности децибела прежде всего нужно разобраться в свойствах логарифмической функции.
Я буду избегать математических формул и графиков, и постараюсь все изложить литературным языком.
Начнем с самого простого: если десять возвести в первую степень, то результат будет 10; десять в степени 2 - даёт 100; в степени 3 даёт 1000, и так далее до 10-и в 12-ой степени, что даёт в результате 1 000 000 000 000 (один триллион).
Да, забыл, начинать надо было с нулевой степени. Любое число в степени 0 есть 1.
Выпишем все это для наглядности (значок ^ означает возведение в степень):
10^0 = 1
10^1 = 10
10^2 = 100
10^3 = 1000
10^4 = 10 000
10^5 = 100 000
10^6 = 1 000 000
10^7 = 10 000 000
10^8 = 100 000 000
10^9 = 1 000 000 000
10^10 = 10 000 000 000
10^11 = 100 000 000 000
10^12 = 1 000 000 000 000
А теперь, представьте себе числовую шкалу с делениями 0,1,2,3…. и так до триллиона- она огромна и неудобна- триллион делений!
А можно ли её как-то уменьшить в масштабе?
Посмотрите на столбик степеней вверху: всего 13 шагов, и они описывают триллион значений. Немного грубовато, но работать можно. Когда дело касается слуховой системы человека, то такой масштаб чисел оправдан.
Благодаря показательной функции y = 10^x (10 в степени х), мы сформировали крупный масштаб неких значений.
Эта функция отвечает на вопрос: каков будет результат, если 10 возвести в некое число х? Ответ: если х, например, равен 6, то результатом будет 1000000 (миллион).
Зададим обратный вопрос: в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить миллион? Для ответа на этот вопрос шотландец Джон Непер в 1614 году изобрел функцию, обратную показательной.
Эта функция называется логарифмической и записывается она так: у = lgx; Ответом на вопрос будет: lg1000000 = 6, то есть 10 необходимо возвести в 6-ю степень, чтобы получить миллион.
Вот что получается со всеми остальными степенями :
lg1 = 0
lg10 = 1
lg100 = 2
lg1000 = 3
lg10000 = 4
lg100000 = 5
lg1000000 = 6
lg10000000 = 7
lg100000000 = 8
lg1000000000 = 9
lg10000000000 = 10
lg100000000000 = 11
lg1000000000000 = 12
Если отложить на прямой все 13 засечек: от 0 до 12, то мы получим логарифмический масштаб, который всего 13-ю делениями описывает огромный диапазон значений от 0 до триллиона.
Вы скажете, что эта шкала слишком грубая, скачкообразная, хотя и несомненно, компактная. В ответ, я вам скажу, что именно в таком масштабе наша слуховая система (ухо + мозг) ощущает и оценивает музыку.
Оценка ощущений громкости и высоты тона (частоты звука) функционально схожа с поведением логарифмической функции.
Именно логарифмическая функция является математической смычкой (удобством) между описанием субъективных ощущений звука человеком и объективными измерениями звука всевозможными тестерами и приборами.
Мы вплотную подбираемся к децибелу…
--------------------------------------------------
P.S.
Тут я описал только десятичный логарифм lg, у которого в основании число 10. На самом деле, в основании логарифма может быть любое число.
Для описания музыкальных октав нам потребуется двоичный логарифм, в основании которого находится число 2.
Именно 2, а вернее, удвоение есть основа формирования музыкальных интервалов - октав (https://t.me/daxxcables/795), которые формируют октавную шкалу частот. По этой шкале мы оцениваем высоту тона.
А по вышеописанной шкале десятичного логарифма мы оцениваем громкость и применяем децибелы.
Логарифмы со всех сторон!
Сущность децибела
Децибел – это просто отношение двух величин, которое помещают в десятичный логарифм (https://t.me/daxxcables/904), а полученное значение умножают на 10 (иногда на 20) для удобства представления.
Чтобы легко понять его смысл, переведём всё на деньги.
Представьте, вас взяли на работу и назначили зарплату в 25 000 рублей в месяц.
Вы хорошо работали и через год ваша зарплата увеличилась до одного миллиона рублей в месяц (только не спрашивайте, где такие зарплаты дают).
Вопрос: на сколько децибел выросла ваша зарплата?
1. Сказано, что децибел это отношение большего значения к меньшему (P2/P1), значит миллион рублей делим на начальный уровень зарплаты.
Получаем: 1000000/25000=40; то есть, зарплата выросла в 40 раз.
2. Эти «разы» нужно поместить в десятичный логарифм.
Получаем: lg40 = 1.60205;
[Десятичный логарифм - это несложно! Это тоже самое, что вычислить степень, в которую необходимо возвести 10, чтобы получить 40. Проверим: 10^1.60205 = 40]
Основная часть выполнена.
3. Формула децибела для энергии и мощности гласит:
Децибел = 10lg(P2/P1);
Если допустить, что зарплата — это энергия, то полученное выше значение логарифма 1.60205 надо умножить на 10; получаем округленно 16дБ.
Ответ: ваша зарплата за год увеличилась на 16дБ.
Вы можете задать вопрос, а для чего значение десятичного логарифма под конец умножили на 10?
Ответ: это инженеры придумали. Они не любят работать с дробями, им легче обрабатывать округлённые целочисленные значения. Инженеры правы, тут точность особая и не нужна: ваша зарплата скакнула аж в 40 раз, - и нет смысла копейки считать, мелочиться!
Вот вам и весь смысл децибела, выраженный в рублях.
В аудио приблизительно тоже самое, только вместо денег там значения давления звуковой волны на перепонку, амплитуды напряжения или мощности сигнала.
Об этом мистер Харли уже писал. Можно прочитать в этом посте. (https://t.me/daxxcables/683)
Децибел - это псевдоединица, живущая на логарифмической шкале, которую я описал в прошлом посте. Короткий диапазон от 0дБ и до 130дБ описывает все наши звуковые ощущения: 0дБ - ничего не изменилось, а от 130дБ можно оглохнуть))
И не надо обрабатывать другие единицы (например, микропаскали давления на мембрану) со значениями в тысячях, миллионах и миллиардах....с кучей нулей в хвосте.
